Concepto de derivada y regla general de derivación

La derivada es el cociente incremental de una función, en otras palabras, es la variación de una función entre dos puntos.

f'(x)=\frac{dy}{dx}=\lim_{{h \to 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

f(x) es tu función evaluada en un punto cualquiera, x1 pero si recuerdas, te he dicho que la derivada expresa el comportamiento de una función entre dos puntos. Por lo tanto, necesitamos un segundo punto, x2, a una distancia h del primero.

Así que la posición exacta de nuestro segundo punto será x2 = x1+h y en este evaluaremos nuestra función f(x2), es decir, f(x+h).

El comportamiento de una recta expresa la pendiente, ya que nos muestra si crece o decrece de acuerdo con sus valores. Tiene valores positivos cuando crece y valores negativos cuando decrece.

La pendiente m se obtiene con la siguiente fórmula:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Recuerda que para trazar una recta se requieren dos puntos, por eso usamos los puntos (x1, y1) y (x2, y2).

Por definición la derivada nos muestra la razón de cambio en el comportamiento de una función, así que necesitamos encontrar la pendiente para conocer ese comportamiento.

Para ello recurrimos al concepto de la recta tangente, la cual es una recta que se encuentra con un punto de la curva. Esto nos permitiría conocer dicho comportamiento.

Nosotros consideramos dos puntos de la curva de nuestra función:

Si trazamos una recta entre ambos, quedaría de la siguiente forma:

La pendiente de esa recta estaría dada por la siguiente expresión:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{(x_{1}+h)-x_{1}}=\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}

Esta recta toca a la curva en dos puntos, y nosotros necesitamos que solo la toque en uno, para entender mejor su comportamiento mediante el uso de la recta tangente.

El siguiente paso es unir los dos puntos hasta que se vuelvan uno solo, es decir, que la distancia h sea lo bastante pequeña para que coincidan en el mismo sitio.

Dicho de otra manera, h debe tender a cero; con esto, recurriremos a los límites. Recordemos la ecuación de la pendiente secante que obtuvimos hace un momento:

m=\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}

Si queremos que h tienda a cero, quedaría expresado de la siguiente forma:

m=\lim_{{h \to 0}}\frac{f(x_{1}+h)-f(x_{1})}{h}

La pendiente obtenida con el límite ya es similar a la definición de la derivada:

f'(x)=m=\lim_{{h \to 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Por lo tanto, la derivada no es otra cosa que la pendiente de una función que se usa para conocer el comportamiento de ésta.

A esta definición se le conoce como Regla general de la derivación.

f'(x)=\lim_{{h \to 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Ejemplo 1

Supongamos que tenemos la siguiente función:

f(x)=6x

Recuerda que evaluamos en dos puntos esta función. Por la definición de derivada o por regla general de la derivación, podemos plantear lo siguiente:

f'(x)=\lim_{{h \to 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

f'(x)=\lim_{{h \to 0}}\frac{6(x+h)-6(x)}{h}

Al hacer el desarrollo obtenemos:

f'(x)=\lim_{{h\to0}}\frac{6x+6h-6x}{h}

f'(x)=\lim_{{h\to0}}\frac{6h}{h}

f'(x)=6

Así obtenemos nuestra derivada. Si te fijas, es un número constante, por lo que asumimos que es nuestra pendiente, y como es positivo, dicha función tiende a crecer.

Ejemplo 2

f(x)=3x^2+4x-5

Recuerda que evaluamos en dos puntos esta función. x y (x+h). Por la definición de derivada o por regla general de la derivación, podemos plantear lo siguiente:

f'(x)=\lim_{{h \to 0}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

f'(x)=\lim_{{h \to 0}}\frac{[3(x+h)^2+4(x+h)-5]-(3x^2+4x-5)}{h}

f'(x)=\lim_{{h \to 0}}\frac{3x^2+6xh+3h^2+4x+4h-5-3x^2-4x+5)}{h}

f'(x)=\lim_{{h \to 0}}\frac{6xh+3h^2+4h}{h}

f'(x)=\lim_{{h \to 0}}\frac{h(6x+3h+4)}{h}

f'(x)=6x+3h+4

Si h tiende a cero, tenemos que:

f'(x)=6x+4

Así obtenemos nuestra derivada. Y si la evaluamos en un punto cualquiera, por ejemplo, x=5, tendremos:

f'(x)=6(5)+4=34

El valor obtenido es positivo, por lo tanto, nuestra función crece en ese punto.