Teoremas de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales
Teorema A. Derivada de una función exponencial
Es aquella en la que una base se encuentra elevada a una potencia y la función de interés es esta potencia, es decir, la potencia contiene a la variable independiente:
f(x)=a^{U(x)}Este teorema afirma que la derivada de una función exponencial es el producto de la función exponencial por el logaritmo natural de la base por la derivada del exponente.
f'(a^{U(x)})=(a^{U(x)})(ln\ a)(U'(x))| Función | Derivada |
f(x)=3^x | f'(x)=3^x\ln3 |
f(x)=7^{(x^2-3x)} | f'(x)=(7^{(x^2-3x)})(\ln7)(2x-3) |
f(x)=5^{[(3x^2)(4x)]} | f'(x)=\{5^{[(3x^2)(4x)]}\}(\ln5)(36x^2) |
Teorema B. Derivada de una función exponencial natural
Es aquella en la que el número de Euler tiene como exponente una función:
f(x)=e^{U(x)}Al igual que el teorema A, este teorema afirma que: la derivada de una función exponencial natural es el producto de la función exponencial por el logaritmo natural de la base por la derivada de la potencia.
f'(e^{U(x)})=(e^{U(x)})(\ln e)(U'(x))Si consideramos que el número de Euler es el inverso del logaritmo natural (ln e =1), tenemos:
f'(e^{U(x)})=(e^{U(x)})(U'(x))| Función | Derivada |
f(x)=e^x | f'(x)=e^x |
f(x)=e^{4x^3} | f'(x)=12x^2e^{4x^3} |
f(x)=e^{5x^4+2x^2} | f'(x)=(20x^3+4x)e^{5x^4+2x^2} |
Ahora aplicaremos los teoremas vistos hasta el momento en el siguiente ejercicio:
f(x)=xe^{x^2}+(3x^2+1)e^{2x}\frac{d}{dx}[xe^{x^2}] + \frac{d}{dx}(3x^2+1)e^{2x}\frac{d}{dx}[x]·e^{x^2}+x·\frac{d}{dx}[e^{x^2}] + \frac{d}{dx}[3x^2+1]·e^{2x}+(3x^2+1)·\frac{d}{dx}e^{2x}1e^{x^2}+xe^{x^2} ·\frac{d}{dx}[x^2]+ (3·\frac{d}{dx}x^2+\frac{d}{dx}[1])e^{2x}+(3x^2+1)e^{2x}·\frac{d}{dx}[2x]xxe^{x^2}·2+e^{x^2}+(3·2x+0)e^{2x}+(3x^2+1)e^{2x}·2·\frac{d}{dx}[x]2x^2e^{x^2}+e^{x^2}+6xe^{2x}+2(3x^2+1)e^{2x}·12x^2e^{x^2}+e^{x^2}+6xe^{2x}+2(3x^2+1)e^{2x}(2x^2+1)e^{x^2}+(6x^2+6x+2)e^{2x}Funciones Logarítmicas
Teorema C. Derivada de una función logarítmica
Es aquella en la que se encuentra un logaritmo como base a y como argumento, la función de interés:
f(x)=\log_aU(x)
Este teorema afirma que la derivada de la función es el cociente de la derivada del argumento entre el producto del argumento por el logaritmo natural de la base.
f'(\log_aU(x))=\frac{U'(x)}{U(x)\ln a}| Función | Derivada |
f(x)=\log_{10}x | f'(x)=\frac{1}{x\ln10} |
f(x)=\log_5(3x^2) | f'(x)=\frac{6x}{3x^2\ln5} |
f(x)=\log_{10}(4x^6-3x^3) | f'(x)=\frac{24x^2-9x^2}{(4x^6-3x^3)\ln10} |
Teorema D. Derivada de una función logarítmica natural
Es aquella en la que se encuentra un logaritmo con el número de Euler como base y como argumento la función de interés:
f(x)=\log_eU(x)=\ln U(x)
Al igual que el teorema C, este teorema afirma que la derivada de la función es el cociente de la derivada del argumento entre el producto del argumento por el logaritmo natural de la base.
f'(x)=(\log_eU(x))=\frac{U'(x)}{U(x)\ln e}Recuerda que el exponente es el inverso del logaritmo natural (ln e=1), por lo tanto, la derivada es el cociente de la derivada del argumento entre el argumento.
f'(x)=(\log_eU(x))=\frac{U'(x)}{U(x)}| Función | Derivada |
f(x)=\ln x | f'(x)=\frac{1}{x} |
f(x)=\ln(2x^3+3) | f'(x)=\frac{6x^2}{2x^3+3} |
f(x)=\ln(\frac{3x}{2}) | f'(x)=(\frac{1}{x}) |
Apliquemos los teoremas estudiados hasta el momento para derivar la siguiente función:
f(x)=\frac{\log_{10}3x^2}{\ln2x^3}f'(x)=\frac{(\frac{6x}{3x^2\ln10})(\ln2x^3)-(\log_{10}3x^2)(\frac{6x}{2x^3})}{(\ln2x^3)^2}f'(x)=\frac{\frac{2\ln2x^3}{x\ln10}-\frac{3\log_{10}3x^2}{x^2}}{(\ln2x^3)^2}f'(x)=\frac{2x^2\ln2x^3-3x(\ln10)(\log_{10}3x^2)}{(x^3\ln10)(\ln2x^3)^2}Cuestionario
¿Qué es una función exponencial?
Es aquella en la que una base se encuentra elevada a la función de interés.
¿Qué afirma el teorema de la derivada de una función exponencial natural?
Que la derivada es el producto de la función exponencial por la derivada de la función.
¿Cuál sería la derivada de la función
f(x)=(3^{2x^2})(e^{3x^2})?
(3^{2x^2})(6x)(e^{3x^2})+(e^{3x^2})(3^{2x^2})(4x)(\ln3) ¿Qué afirma el teorema de la derivada de una función logarítmica natural?
Que la derivada es el cociente de la derivada del argumento entre el argumento.
¿Cuál es la derivada de la función
f(x)=\log_53x^2+\ln4x^3
?
f'(x)=\frac{6x}{3x^2\ln5}+\frac{12x^2}{4x^3}